Théorème de Darboux

Si $f$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I$, sa dérivée n'est pas forcément une fonction continue : par exemple, si $f$ est définie sur $\mathbb R$ par $f(x)=x^2\sin(1/x)$ si $x\neq 0$ et $f(0)=0$, alors on peut prouver que $f$ est dérivable sur $\mathbb R$, et pourtant sa dérivée n'est pas continue en 0.

Toutefois, la dérivée d'une fonction vérifie certaines propriétés des fonctions continues :

Autrement dit, le théorème de Darboux dit que la dérivée d'une fonction, même si cette dérivée n'est pas continue, vérifie les conclusions du théorème des valeurs intermédiaires.

Le théorème de Darboux a été énoncé par Gaston Darboux dans son article Mémoire sur les fonctions discontinues paru en 1875. Son but était de démontrer que la propriété de la valeur intermédiaire ne caractérisait pas les fonctions continues. Ainsi, il démontrait que la dérivée de la fonction définie par $f(x)=x^2\sin(1/x)$ si $x\neq 0$, $f(0)=0$ est dérivable sur $\mathbb R,$ mais que sa dérivée, qui vaut $f'(x)=2x-x^2\cos(1/x)$ si $x\neq 0$ et $f'(0)=0$, n'est pas continue en zéro bien qu'elle vérifie la propriété de la valeur intermédiaire. Malheureusement, la preuve de Darboux de son théorème est fausse !

Source : Biographie des grands théorèmes, par B. Hauchecorne.