Inégalités de Clarkson
L'identité du parallélogramme affirme que, dans un espace préhilbertien $X$, pour tout couple $(f,g)\in X^2$, on a $$\|f+g\|^2+\|f-g\|^2=2(\|f\|^2+\|g\|^2).$$ En particulier, cette égalité est vraie si $X$ est l'espace $L^2(\Omega,\mu)$ des fonctions de carré intégrable sur l'espace mesuré $(\Omega,\mathcal B,\mu)$. Les inégalités de Clarkson sont un substitut à cette égalité, remplacée par une double inégalité, pour les espaces $L^p$.
Théorème : Soit $1\leq p<+\infty$ et soit $(\Omega,\mathcal B,\mu)$
un espace mesuré. Pour tous $f,g\in L^p(\Omega,\mu)$ on a
$$2^{p-1}\left(\|f\|_p^p+\|g\|_p^p\right)\leq \|f+g\|_p^p +\|f-g\|_p^p \leq 2\left(\|f\|_p^p+\|g\|_p^p\right)$$
si $p\in [1,2]$ et
$$ 2\left(\|f\|_p^p+\|g\|_p^p\right)\leq \|f+g\|_p^p +\|f-g\|_p^p \leq 2^{p-1}\left(\|f\|_p^p+\|g\|_p^p\right)$$
si $p> 2$. De plus, si $p\neq 2$, on a
$$\|f+g\|_p^p +\|f-g\|_p^p = 2^{p-1}\left(\|f\|_p^p+\|g\|_p^p\right)$$
si et seulement si $f$ et $g$ ont des supports disjoints.
Recherche alphabétique
Recherche thématique