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Dictionnaire de mathématiques > Probabilité et statistiques > Probabilités > Variables aléatoires >

Inégalité de concentration de Bernstein

Les inégalités de Bernstein, en probabilité, disent que, sous certaines hypothèses, la probabilité pour qu'une somme de variables aléatoires indépendantes soit à distance $t$ de sa moyenne est faible et que la décroissance est en $\exp(-\lambda t^2).$ Par exemple, on a le résultat suivant :

Théorème : Soit $X_1,\dots,X_n$ des variables aléatoires indépendantes d'espérance nulle et vérifiant $|X_i|\leq M$ pour tout $i=1,\dots,n.$ Alors pour tout $t\geq 0,$ $$P\left(\sum_{i=1}^n X_i\geq t\right)\leq 2\exp\left(\frac{-t^2}{2\sum_{i=1}^n E(X_i^2)+\frac{2}3Mt}\right).$$
Les inégalités de Bernstein ont été démontrées par Serguei Bernstein vers 1920. Des inégalités similaires ont été prouvées ensuite par Hoeffding et Chernov, entre autres.
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